Теоремы по площадям 8 класс

Ершова Голобородько 8 класс самостоятельные и контрольные работы ГДЗ

Здесь представлены ответы к самостоятельным и контрольным работам по алгебре и геометрии 8 класс Ершова Голобородько. Вы можете смотреть и читать гдз онлайн (без скачивания) с компьютера и мобильных устройств.

АЛГЕБРА

Рациональные дроби
С-1. Рациональные выражения. Сокращение дробей 1 2 3 4
С-2. Сложение и вычитание дробей 1 2 3 4 5
К-1. Рациональные дроби. Сложение и вычитание дробей 1 2 3 4 5 6 7 8
С-3.

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень 1 2 3 4 5
С-4. Преобразование рациональных выражений 1 2 3 4 5 6 С-5*. Все действия с рациональными выражениями (домашняя самостоятельная работа)

С-6.

Обратная пропорциональность и ее график 1 2 3 4 5 6

К-2. Рациональные дроби 1 2 3 4 5 6 7 8
Квадратные корни
С-7. Арифметический квадратный корень 1 2 3 4 5 6
С-8. Уравнение х2 = а. Функция у = у[х 1 2 3 4 5 6
С-9. Квадратный корень из произведения, дроби, степени 1 2 3 4
К-3. Арифметический квадратный корень и его свойства 1 2 3 4 5
С-10. Внесение и вынесение множителя в квадратных корнях 1 2 3 4
С-11. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни 1 2 3 С-12*. Действия с квадратными корнями (домашняя самостоятельная работа)

К-4. Применение свойств арифметического квадратного корня 1 2 3 4 5 6 7 8

Квадратные уравнения
С-13. Неполные квадратные уравнения 1 2 3
С-14. Формула корней квадратного уравнения 1 2 3 4
С-15. Решение задач с помощью квадратных уравнений. Теорема Виета 1 2 3 4 С-16*. Применение свойств квадратных уравнений (домашняя самостоятельная работа)

К-5. Квадратные уравнения 1 2 3 4 5 6 7

С-17. Дробные рациональные уравнения 1 2 3 4 5
С-18. Применение дробных рациональных уравнений. Решение задач 1 2 3 4 5 6
К-6. Дробные рациональные уравнения 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Неравенства
С-19. Свойства числовых неравенств К-7. Числовые неравенства и их свойства 1 2 3
K-7. 1 2 3 4 5 6
С-20. Линейные неравенства с одной переменной 1 2 3 4 5
С-21. Системы линейных неравенств 1 2 С-22*. Неравенства (домашняя самостоятельная работа)

К-8. Линейные неравенства и системы неравенств с одной переменной 1 2 3 4 5

С-23. Степень с отрицательным показателем 1 2
К-9. Степень с целым показателем 1 2 3
К-10. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5

ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)

Четырехугольники
СП-1. Свойства и признаки параллелограмма 1 2 3 4
СП-2. Прямоугольник. Ромб. Квадрат 1 2 3 4
КП-1. Параллелограмм 1 2 3 4
СП-3. Теорема Фалеса.

Средняя линия треугольника 1 2 3
СП-4. Трапеция. Средняя линия трапеции 1 2 3 4 СП-5*. Четырехугольники (домашняя самостоятельная работа)

КП-2. Трапеция.

Средние линии треугольника и трапеции 1 2 3 4 5

Теорема Пифагора
СП-6. Теорема Пифагора 1 2 3 4 5
СП-7. Теорема, обратная теореме Пифагора. Перпендикуляр и наклонная 1 2 3 4
СП-8. Неравенство треугольника 1 2 СП-9*. Теорема Пифагора (домашняя самостоятельная работа)

КП-3. Теорема Пифагора 1 2 3 4 5 6

СП-10. Решение прямоугольных треугольников 1 2 3 4
СП-11. Свойства тригонометрических функций 1 2 3
КП-4. Прямоугольный треугольник (итоговая контрольная работа) 1 2 Декартовы координаты на плоскости

СП-12. Координаты середины отрезка. 1 2 3 4

Расстояние между точками. Уравнение окружности

СП-13. Уравнение прямой 1 2 3 4 5 6 7

СП-14*. Декартовы координаты (домашняя самостоятельная работа)

КП-5. Декартовы координаты 1 2 3 4 5 6

Движение
СП-15. Движение и его свойства. Центральная и осевая симметрии. Поворот 1 2 3
СП-16. Параллельный перенос 1 2 3
Векторы
СП-17. Понятие вектора. Равенство векторов 1 2
СП-18. Действия с векторами в координатной форме. Коллинеарные векторы 1 2
СП-19. Действия с векторами в геометрической форме 1 2 3
СП-20. Скалярное произведение 1 2 3 СП-21*. Применение параллельного переноса и векторов к решению задач (домашняя самостоятельная работа)

КП-6. Векторы 1 2 3 4

КП-7. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5 6 7

ГЕОМЕТРИЯ (по учебнику Атанасяна)

Четырехугольники
СА-1.Свойства и признаки параллелограмма 1 2 3
СА-2.Прямоугольник. Ромб. Квадрат 1 2 3 СА-3*. Четырехугольники (домашняя самостоятельная работа)

КА-1. Четырехугольники 1 2 3

Площадь
СА-4.Площадь прямоугольника, квадрата 9 10
СА-5.Площадь параллелограмма, ромба, треугольника 11 12
СА-6.Площадь трапеции 13 14
СА-7.Теорема Пифагора 14 15 СА-8*. Площади. Теорема Пифагора (домашняя самостоятельная работа)

КА-2. Площади. Теорема Пифагора 16 17 18

Подобные треугольники
СА-9. Определение подобных треугольников. Свойство биссектрисы угла треугольника 1 2 3 4 5 6
СА-10. Признаки подобия треугольников 1 2 3 4 5
КА-3. Подобие треугольников 1 2 3 4 5
СА-11. Применение подобия к решению задач 1 2 3
СА-12. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 1 2 3 4 СА-13*. Подобие и его применение (домашняя самостоятельная работа)

КА-4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 1 2 3 4

Окружность
СА-14. Касательная к окружности 1 2 3 4
СА-15. Центральные и вписанные углы 1 2 3 4 5
СА-16. Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Замечательные точки треугольника 1 2 3 4
СА-17. Вписанная и описанная окружности 1 2 3 4 5 СА-18*. Задачи, связанные с окружностью (домашняя самостоятельная работа)

КА-5. Окружность 1 2 3 4 5

Векторы
СА-19. Сложение и вычитание векторов 1 2 3
СА-20. Умножение вектора на число 1 2 3
СА-21. Средняя линия трапеции 1 2 3 4 СА-22*. Векторы и их применение (домашняя самостоятельная работа)

КА-6. Векторы. Применение векторов к решению задач 1 2 3

КА-7. Годовая контрольная работа 1 2 3 4 5

Теоремы по площадям 8 класс

1. У квадрата все углы прямые.
2. Диагонали квадрата равны.
3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема 6.7.

Теорема площади квадрата 8 класс

Б) 72 Г) 25

4. Сравните площади заштрихованных – S1 и незаштрихованных -S2, частей квадрата. Точки K, L – середины сторон.

А)S1 S2

Б)S1 < S2

В)S1 = S2

Г)Нельзя сравнить

5.Высота и основания трапеции относятся как 4 : 5 : 6.

Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 88.

А) 10 В) 8

Б) 12 Г) 20

1.Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз?

1. увеличится в 5 раз;

2. увеличится в 10 раз;

3. увеличится в 20 раз;

4. увеличится в 25 раз;

2.

Теорема площади треугольника 8 класс

Приложение.

Карта учета знаний

1.Как изменится площадь квадрата, если его сторону уменьшить в 5 раз?

1. Уменьшится в 5 раз;

2. Уменьшится в 10 раз;

3. Уменьшится в 20 раз;

4. Уменьшится в 25 раз;

2.Площадь квадрата равна 36 .Чему равен его периметр?

А) 12 В) 24

Б) 18 Г) 36

3.) 3.Периметр прямоугольника равен 18 см, а одна из его сторон на 1 см больше другой.

Теорема площади трапеции 8 класс

2. Рассчитать нужное количество обоев для покрытия стен в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если 1 рулон длиной 10 м и шириной 105 см стоит 1350 руб.

[attention type=yellow]

1.Рассчитать нужное количество ламината для покрытия пола в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если цена одной плитки размером 200мм х 1200мм равна 175 руб.

[/attention]

2.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества позволяют, зная одну из величин sin a, cos a, tg a или ctg a, найти три другие.

1. tg a = sin a / cos a.
2. сtg a = cos a / sin a.
3. sin2a + cos2a = 1.
4. 1 + tg2a = 1 / cos2a
5. 1 + ctg2a = 1 / sin2a

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Теорема 7.4. Для любого острого углаa:sin (90° —a) =cosa,cos (90° —a) =sina.

Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Теорема 7.5.

в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а.

• Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
• Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: sin а = ВС/АВ.
• Тангенсом угла а (обозначается tg a) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: tg a = ВС/АС.
• Котангенсом угла а (обозначается ctg a) называется отношение прилежащего катета АС к противолежащему катету ВС: ctga = АС/ВС.

Синус, тангенс и котангенс утла, так же как и косинус, зависят только от величины угла.

Правила по площадям 8 класс

Рассчитать нужное количество обоев для покрытия стен в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если 1 рулон длиной 10 м и шириной 105 см стоит 1350 руб.

[attention type=yellow]

1.Рассчитать нужное количество ламината для покрытия пола в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если цена одной плитки размером 200мм х 1200мм равна 175 руб.

[/attention]

2. Рассчитать нужное количество обоев для покрытия стен в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если 1 рулон длиной 10 м и шириной 105 см стоит 1350 руб.

[attention type=yellow]

1.Рассчитать нужное количество ламината для покрытия пола в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если цена одной плитки размером 200мм х 1200мм равна 175 руб.

[/attention]

2.

Все теоремы по площадям 8 класс

Важно

Тема: “Площади” в курсе геометрии 8-го класса включает изучение вопросов:

1. “Площадь треугольника”
2. “Площадь параллелограмма”
3. “Площадь трапеции”
4. “Теорема Пифагора”

Основная цель: создать условия для формирования учащимися понятия площади, развития умений вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы, а также теорему Пифагора.

Данный урок – обобщающий по теме “Площади” и “Теорема Пифагора”, проводится для отработки навыков применения формул при вычислении площадей фигур, нахождении неизвестных сторон и высот плоских фигур.

Урок разработан на основе программы и УМК учебника “Геометрия 7-9” авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, и других на основе применения технологии И.

С. Якиманской.

Представленная разработка соответствует содержанию, целям и задачам геометрии указанной теме урока.

А теперь сама она имеет большое прикладное значение. В частности, на практике широко используются геометрические преобразования

Равенство фигур

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.

Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна фигуре F’.

В записи равенства треугольников: DАВС = DA1B1C1 — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах.

При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.

[attention type=red]

Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением.

[/attention]

СНАД, СН=АВ=9 см, СД=15см

По теореме Пифагора : СД2 = СН2 + ДН2 , ДН2 = СД2 _ СН2

ДН2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144

ДН = 12 (см)

3. ВС= АН = 20 – 12 = 8(см)

4. S = ½ (АД+ВС) * СН ; S = 1/2 (20 + * 9 = 126 (см2)

Ответ: 126см2

Результаты фиксируем в «карту учета знаний»

V Физминутка.
(Слайд22)

• Обведите кончиком носа образ фигуры 1.

• С закрытыми глазами нарисуйте в воздухе двумя руками одновременно образ фигуры 2.

• Обведите взглядом образ фигуры 3 по часовой стрелке и против часовой стрелки.

VI.

Но что это значит? Можно дать эквивалентную формулировку: длины стороны треугольника равны , и , где – это сколько-то сантиметров (метров, километров, ярдов, …) (см. рис. 9).

Рис. 9. Прямоугольный треугольник со сторонами , и , где – единица измерения (см, м, км, ярды и т.

д.)

Внимание

Тогда любая длина в рамках данной задачи будет пропорциональна этой условной единице . Например, высота такого треугольника, проведенная к гипотенузе, будет равна усл.

ед., или см (м, км, …) (см. рис. 10).

Рис. 10. Прямоугольный треугольник со сторонами , и и высотой см (м, км, …), проведенной к гипотенузе

Таким образом, решив задачу для условных единиц, мы можем использовать решение для любых единиц измерения, используя нужный нам . То же касается и площади – у данного треугольника она будет равна кв.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

• Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
• Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
• Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY=
• Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
• (Т.

• произведению его высоты на сторону;
• произведению его основания на высоту, проведенную к данному основанию.

в) По формуле S=d*d /2 можно вычислить площадь:

1. ромба;
2. треугольника;
3. параллелограмма.

г) Площадь треугольника равна половине произведения:

1. оснований;
2. основания на высоту, проведенную к данному основанию;
3. его высот.

д) Площадь трапеции АВСД с основаниями ВС и АД и высотой ВН равна

1. S=(AB+CD)/2*BH;
2. S=(AD+BC)/2/BH;
3. S=(BC+AD)/2*BH.

е) Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике:

1. квадрат катета равен квадрату гипотенузы;
2. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
3. сумма квадратов катетов равна гипотенузе.

Учащиеся ставят знак + в выбранном ответе.

Произвольный тупоугольный треугольник, где проведенная к стороне высота проходит вне треугольника

Итак, площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле (см. рис. 15):

где – длина любой из сторон треугольника, а – длина высоты, проведенной к этой стороне.

Рис. 15. Произвольный треугольник с высотой , проведенной к стороне

Что нам дает эта формула?

1.

[attention type=green]

С ее помощью можно вычислить площадь треугольника, зная длины стороны и высоты, которая к ней проведена. Например, сторона равна , высота . Площадь треугольника равна :

[/attention]

2. Два треугольника с одинаковыми основаниями и высотой имеют равные площади.

Возьмем два параллельных рельса, расстояние между которыми равно . На одном рельсе отметим отрезок длиной . На втором рельсе возьмем точку и соединим с концами отрезка.
Получим треугольник (см. рис. 16).

Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения

«Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — это краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств). Краткий курс, вся информация, самое главное и самое важное вкратце.

Использованы цитаты из учебника для общеобразовательных учреждений «Геометрия 7-9 классы / А.В. Погорелов — М.: Просвещение, 2014″ в учебных целях.

Определение четырёхугольника

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.