Теоремы по площадям 8 класс

Теоремы по площадям 8 класс

Теоремы по площадям 8 класс

  1. У квадрата все углы прямые.
  2. Диагонали квадрата равны.
  3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Теорема 6.6. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Замечание. В условии теоремы Фалеса вместо сторон угла можно взять любые две прямые, при этом заключение теоремы будет то же: параллельные прямые, пересекающие две данные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема 6.7.

Теорема площади квадрата 8 класс

Б) 72 Г) 25

4. Сравните площади заштрихованных – S1 и незаштрихованных -S2, частей квадрата. Точки K, L – середины сторон.

А)S1 S2

Б)S1 < S2

В)S1 = S2

Г)Нельзя сравнить

5.Высота и основания трапеции относятся как 4 : 5 : 6.

Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 88.

А) 10 В) 8

Б) 12 Г) 20

1.Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раз?

  1. увеличится в 5 раз;

  2. увеличится в 10 раз;

  3. увеличится в 20 раз;

  4. увеличится в 25 раз;

2.

Теорема площади треугольника 8 класс

Приложение.

Карта учета знаний

1.Как изменится площадь квадрата, если его сторону уменьшить в 5 раз?

  1. Уменьшится в 5 раз;

  2. Уменьшится в 10 раз;

  3. Уменьшится в 20 раз;

  4. Уменьшится в 25 раз;

2.Площадь квадрата равна 36 .Чему равен его периметр?

А) 12 В) 24

Б) 18 Г) 36

3.) 3.Периметр прямоугольника равен 18 см, а одна из его сторон на 1 см больше другой.

Теорема площади трапеции 8 класс

2. Рассчитать нужное количество обоев для покрытия стен в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если 1 рулон длиной 10 м и шириной 105 см стоит 1350 руб.

[attention type=yellow]

1.Рассчитать нужное количество ламината для покрытия пола в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если цена одной плитки размером 200мм х 1200мм равна 175 руб.

[/attention]

2.

Основные тригонометрические тождества

Эти тождества позволяют, зная одну из величин sin a, cos a, tg a или ctg a, найти три другие.

  1. tg a = sin a / cos a.
  2. сtg a = cos a / sin a.
  3. sin2a + cos2a = 1.
  4. 1 + tg2a = 1 / cos2a
  5. 1 + ctg2a = 1 / sin2a

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов

Теорема 7.4. Для любого острого углаa:sin (90° —a) =cosa,cos (90° —a) =sina.

Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла

Теорема 7.5.

в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным а.

  • Согласно определению cos а равен отношению катета, прилежащего к углу а, к гипотенузе.
  • Синусом угла а (обозначается sin а) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: sin а = ВС/АВ.
  • Тангенсом угла а (обозначается tg a) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: tg a = ВС/АС.
  • Котангенсом угла а (обозначается ctg a) называется отношение прилежащего катета АС к противолежащему катету ВС: ctga = АС/ВС.

Синус, тангенс и котангенс утла, так же как и косинус, зависят только от величины угла.

Правила по площадям 8 класс

Рассчитать нужное количество обоев для покрытия стен в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если 1 рулон длиной 10 м и шириной 105 см стоит 1350 руб.

[attention type=yellow]

1.Рассчитать нужное количество ламината для покрытия пола в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если цена одной плитки размером 200мм х 1200мм равна 175 руб.

[/attention]

2. Рассчитать нужное количество обоев для покрытия стен в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если 1 рулон длиной 10 м и шириной 105 см стоит 1350 руб.

[attention type=yellow]

1.Рассчитать нужное количество ламината для покрытия пола в твоей комнате и необходимую для этого сумму денег, если цена одной плитки размером 200мм х 1200мм равна 175 руб.

[/attention]

2.

Все теоремы по площадям 8 класс

Важно

Тема: “Площади” в курсе геометрии 8-го класса включает изучение вопросов:

  1. “Площадь треугольника”
  2. “Площадь параллелограмма”
  3. “Площадь трапеции”
  4. “Теорема Пифагора”

Основная цель: создать условия для формирования учащимися понятия площади, развития умений вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы, а также теорему Пифагора.

Данный урок – обобщающий по теме “Площади” и “Теорема Пифагора”, проводится для отработки навыков применения формул при вычислении площадей фигур, нахождении неизвестных сторон и высот плоских фигур.

Урок разработан на основе программы и УМК учебника “Геометрия 7-9” авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, и других на основе применения технологии И.

С. Якиманской.

Представленная разработка соответствует содержанию, целям и задачам геометрии указанной теме урока.

А теперь сама она имеет большое прикладное значение. В частности, на практике широко используются геометрические преобразования

Равенство фигур

Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.

Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна фигуре F’.

В записи равенства треугольников: DАВС = DA1B1C1 — предполагается, что совмещаемые при движении вершины стоят на соответствующих местах.

При таком условии равенство треугольников, определяемое через их совмещение движением, и равенство, как мы его понимали до сих пор, выражают одно и то же.

[attention type=red]

Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением.

[/attention]

СНАД, СН=АВ=9 см, СД=15см

По теореме Пифагора : СД2 = СН2 + ДН2 , ДН2 = СД2 _ СН2

ДН2 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144

ДН = 12 (см)

3. ВС= АН = 20 – 12 = 8(см)

4. S = ½ (АД+ВС) * СН ; S = 1/2 (20 + 8) * 9 = 126 (см2)

Ответ: 126см2

Результаты фиксируем в «карту учета знаний»

V Физминутка.
(Слайд22)

  • Обведите кончиком носа образ фигуры 1.
  • С закрытыми глазами нарисуйте в воздухе двумя руками одновременно образ фигуры 2.
  • Обведите взглядом образ фигуры 3 по часовой стрелке и против часовой стрелки.

VI.

Но что это значит? Можно дать эквивалентную формулировку: длины стороны треугольника равны , и , где – это сколько-то сантиметров (метров, километров, ярдов, …) (см. рис. 9).

Рис. 9. Прямоугольный треугольник со сторонами , и , где – единица измерения (см, м, км, ярды и т.

д.)

Внимание

Тогда любая длина в рамках данной задачи будет пропорциональна этой условной единице . Например, высота такого треугольника, проведенная к гипотенузе, будет равна усл.

ед., или см (м, км, …) (см. рис. 10).

Рис. 10. Прямоугольный треугольник со сторонами , и и высотой см (м, км, …), проведенной к гипотенузе

Таким образом, решив задачу для условных единиц, мы можем использовать решение для любых единиц измерения, используя нужный нам . То же касается и площади – у данного треугольника она будет равна кв.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
  • Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если XY=
  • Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
  • (Т.
  • произведению его высоты на сторону;
  • произведению его основания на высоту, проведенную к данному основанию.

в) По формуле S=d*d /2 можно вычислить площадь:

  1. ромба;
  2. треугольника;
  3. параллелограмма.

г) Площадь треугольника равна половине произведения:

  1. оснований;
  2. основания на высоту, проведенную к данному основанию;
  3. его высот.

д) Площадь трапеции АВСД с основаниями ВС и АД и высотой ВН равна

  1. S=(AB+CD)/2*BH;
  2. S=(AD+BC)/2/BH;
  3. S=(BC+AD)/2*BH.

е) Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике:

  1. квадрат катета равен квадрату гипотенузы;
  2. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
  3. сумма квадратов катетов равна гипотенузе.

Учащиеся ставят знак + в выбранном ответе.

Произвольный тупоугольный треугольник, где проведенная к стороне высота проходит вне треугольника

Итак, площадь произвольного треугольника можно вычислить по формуле (см. рис. 15):

где – длина любой из сторон треугольника, а – длина высоты, проведенной к этой стороне.

Рис. 15. Произвольный треугольник с высотой , проведенной к стороне

Что нам дает эта формула?

1.

[attention type=green]

С ее помощью можно вычислить площадь треугольника, зная длины стороны и высоты, которая к ней проведена. Например, сторона равна , высота . Площадь треугольника равна :

[/attention]

2. Два треугольника с одинаковыми основаниями и высотой имеют равные площади.

Возьмем два параллельных рельса, расстояние между которыми равно . На одном рельсе отметим отрезок длиной . На втором рельсе возьмем точку и соединим с концами отрезка.
Получим треугольник (см. рис. 16).

Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения

«Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения» — это краткое повторение геометрии за 8 класс (основные понятия, определения и теоремы без доказательств). Краткий курс, вся информация, самое главное и самое важное вкратце.

Использованы цитаты из учебника для общеобразовательных учреждений «Геометрия 7-9 классы / А.В. Погорелов — М.: Просвещение, 2014″ в учебных целях.

Определение четырёхугольника

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Урок геометрии в 8 классе по теме:

Теоремы по площадям 8 класс

Тема: “Площади” в курсе геометрии 8-го класса включает изучение вопросов:

  1. “Площадь треугольника”
  2. “Площадь параллелограмма”
  3. “Площадь трапеции”
  4. “Теорема Пифагора”

Основная цель: создать условия для формирования учащимися понятия площади, развития умений вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы, а также теорему Пифагора.

Данный урок – обобщающий по теме “Площади” и “Теорема Пифагора”, проводится для отработки навыков применения формул при вычислении площадей фигур, нахождении неизвестных сторон и высот плоских фигур.

Урок разработан на основе программы и УМК учебника “Геометрия 7-9” авторов Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, и других на основе применения технологии И. С. Якиманской.

Представленная разработка соответствует содержанию, целям и задачам геометрии указанной теме урока. Предложенный урок обобщающий, он обобщает, структурирует и систематизирует ЗУНы по теме “Площади плоских фигур. Теорема Пифагора”. Развивает геометрические представления, унифицирует систему определения площадей геометрических фигур.

Предлагаемые формы, приёмы и методы работы используемые средства обучения логически последовательны, адекватны содержанию, разнообразны, имеют аргументированную мотивацию, позволяют учащимся выбрать уровень сложности контроля самостоятельной работы сообразно личностных качеств, уровня ЗУНов, что позволяет создавать комфортную творческую обстановку в процессе учебных коммуникаций на протяжении всего урока. Такая организация урока способствует продуктивному решению познавательных учебных и личностных задач, отслеживать динамику личностного продвижения.

Диалогический характер обучения, основанный на технологии ЛОСО И. С. Якиманской, формирует гуманистические начала, развивает гуманитарное и математическое мышление, логику учащихся, учит само – и взаимооценке учебных достижений, что помогает максимально избегать возможных пробелов усвоении знаний.

Большой объем, рассмотренного на уроке учебного материала, подтверждает не только его разнохарактерную и многосложную насыщенность урока его плотность, хорошей темы, качество подготовки учащихся.

Цель урока:

создать условия для

  • закрепления знаний, умения и навыков учащихся по теме “Площади”,
  • совершенствования навыков решения задач на применение теоремы Пифагора,
  • обобщения и систематизации теоретических знаний учащихся по теме “Площади” и “Теорема Пифагора”,
  • обобщение понятий: теорема Пифагора; основание, высота, диагонали.

Оборудование урока:

  1. Плакат “Площади” (Рисунок 1);
  2. Теоретический тест в двух вариантах;
  3. Карточки с готовыми чертежами к задачам (устная работа);
  4. Конверты с задачами для самостоятельной работы (индивидуальные).

Тип урока:

повторительно-обобщающий.

Оргформа:

урок-практикум.

I. Организационный момент

  • совместно с учащимися формулируем тему урока;
  • совместно с учащимися ставим задачи урока;
  • определяем основные этапы урока, для этого обратиться к учащимся с вопросами: какую тему мы изучили? что нужно знать по темам “Площади”, теорема Пифагора?

    каким образом это можно закрепить?

II. Проверка знаний учащихся

1. Проверка теории

(учащиеся получают тест).

Вариант 1.

Выбери верные утверждения:

а) Площадь параллелограмма равна:

  1. произведению его сторон;
  2. произведению его высот;
  3. произведению его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

б) Площадь квадрата со стороной 3см равна:

в) Закончите предложение: “Площадь ромба равна…

  1. произведению его сторон;
  2. половине произведения его диагоналей;
  3. произведению его стороны и высоты.

г) По формуле можно вычислить:

  1. площадь треугольника;
  2. площадь прямоугольника;
  3. площадь параллелограмма.

д) Площадь трапеции АВСД с основаниями АВ и СД и высотой ВО вычисляется по формуле:

е) Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике:

  1. квадрат гипотенузы равен квадрату катета;
  2. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
  3. сумма квадратов катетов равна гипотенузе.

Вариант 2.

Выберите верные утверждения:

а) Площадь квадрата равна:

  1. произведению его сторон;
  2. квадрату его стороны;
  3. произведению его сторон на высоту.

б) Площадь параллелограмма равна:

  1. произведению его смежных сторон;
  2. произведению его высоты на сторону;
  3. произведению его основания на высоту, проведенную к данному основанию.

в) По формуле S=d*d /2 можно вычислить площадь:

  1. ромба;
  2. треугольника;
  3. параллелограмма.

г) Площадь треугольника равна половине произведения:

  1. оснований;
  2. основания на высоту, проведенную к данному основанию;
  3. его высот.

д) Площадь трапеции АВСД с основаниями ВС и АД и высотой ВН равна

  1. S=(AB+CD)/2*BH;
  2. S=(AD+BC)/2/BH;
  3. S=(BC+AD)/2*BH.

е) Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике:

  1. квадрат катета равен квадрату гипотенузы;
  2. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
  3. сумма квадратов катетов равна гипотенузе.

Учащиеся ставят знак + в выбранном ответе. По таблице ответов проводят взаимоконтроль в парах.

Таблица ответов:

вар.абвгде
1333132
2231232

2. Решение задач по готовым чертежам.

а) Решите устно, найдите площади фигур:

3. Решение задач письменно в тетрадях с последующей самопроверкой (по вариантам)

Вариант 1.

Дано: АВСD – трапеция; ВС : АD = 2 : 3; ВК = 6; SABCD = 60. Найти: BC, AD

Вариант 2.

Дано: ABC; A = C = 75°; АВ = 12. Найти: SABC

Ответы:

  • Вариант 1 ВС=8, AD=12;
  • Вариант-2 SABC=36

4. Самостоятельная работа. (Каждый учащийся получает конверт с задачами 2-х уровней и сам выбирает задание на основе своего уровня подготовки).

Критерий оценки:

  • 1 уровень – “3” – №1; “4” – №1, №2.
  • 2 уровень – “4” – №1; “5” – №1, №2.

1 уровень

Вариант 1 Вариант 2
1. Диагонали ромба 12 см и 16 см Найти сторону ромба1. Стороны прямоугольника 5 см и 12 см.

Найти диагональ прямоугольника.

2. В треугольнике АВС, С = 900, В = 300, СВ = 5 см, АВ = 12 см. Найти площадь треугольника.2. В ABC С = 900, А = 450, АВ = 8 см, АС = 3 см.

Найти площадь треугольника.

2 уровень

1. В прямоугольной трапеции основания равны 17 см и 5 см, а большая боковая сторона 13 см. Найти площадь трапеции.В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 см и 9 см, а большее основание 20 см.

Найти площадь трапеции.

2. Высота параллелограмма равны 4 см и 5см, а периметр равен 42 см. Найти площадь параллелограмма2. Диагонали ромба равны 18 и 24 см. Найти периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

Взаимопроверка работ в парах (готовое решение на доске). (См. Приложение 1).

III. Рефлексия (подведение итогов урока)

  1. Чему вы научились при изучении темы раздела;
  2. Какими навыками, умениями овладели;
  3. Какими формулами, понятиями воспользовались при решении задач?
  4. Решение каких задач показалось вам сложным?
  5. Какие вопросы требуется вашего особого внимания?
  6. Какие задачи вам понравилось решать?

IV. Домашние задание

  • Всем учащимся: Стр. 129 В(1-10) № 503;
  • Дополнительно группе “В”: №518 а) (с.

    130)

  • Дополнительная задача* группе “С” (при условии выполнения задания “В”):

*В равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями боковая сторона ровна 26 см.

Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых 10 см. Найти площадь трапеции.

Законодательство
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: